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### 多项式的乘法

最核心的操作是两个多项式的乘法，即给定多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ ：

$$

f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n\quad \quad (1)\\ 

g(x)=b_0+b_1x+\dots+b_mx^m\quad \quad (2)

$$

要计算多项式 $Q(x)=f(x)\cdot g(x)$ ：

$$

\boxed {Q(x) = \sum \limits_ {i = 0} ^ n \sum \limits_ {j = 0 } ^ m a_i b_j x ^ {i + j}} = c_0 + c_1 x + \dots + c_ {n + m} x ^ {n + m}

$$

上述过程可以通过快速傅里叶变换在$O(n\log n)$下计算。

上述过程可以通过快速傅里叶变换在 $O(n\log n)$ 下计算。

### 多项式的逆元

则称 $g(x)$ 为 $f(x)$ 在模 $x^{n}$ 意义下的 **逆元（Inverse Element）** ，记作 $f^{-1}(x)$ 。

### 多项式的余数和商

对于多项式 $f(x), g(x)$ ，存在 **唯一** 的 $Q(x), R(x)$ 满足：