Merge pull request #2607 from guodong2005/patch-4

显然地，时间复杂度为 $O(n+m)$ 。

### 爆搜

### 暴搜

就是沿着图上一条路径，如果一个点被选择了，那么这条路径以后的点都将被选择，那么，出现不可行的情况就是，存在一个集合中两者都被选择了。

 **Lemma 9** ：考虑三个点 $u,v,w$ 满足 $\alpha(u)<\alpha(v)<\alpha(w)$ ，如果 $uw$ 相连， $vw$ 不相连，则 $w$ 只给 $u$ 的 $label$ 贡献，不给 $v$ 贡献。为了让 $v$ 比 $u$ 先加入序列，需要一个 $x$ 满足 $\alpha(v)<\alpha(x)$ 且 $vx$ 相连， $ux$ 不相连，即 $x$ 只给 $v$ 贡献而不给 $u$ 贡献。

 **Lemma 10** ：任意一个弦图一定不存在一个序列 $v_0,v_1,...,v_k(k\ge 2)$ 满足下列性质：

1\. $v_iv_j$ 相连当且仅当 $|i-j|=1$ 。

1\. $\alpha(v_0)>\alpha(v_i)(i\in[1,k])$ 。

1\. 存在 $i\in[1,k-1]$ ，满足 $\alpha(v_i)<\alpha(v_{i+1})<...<\alpha(v_k)$ 且 $\alpha(v_i)<\alpha(v_{i-1})<...<\alpha(v_1)<\alpha(v_k)<\alpha(v_0)$ 。

1. $v_iv_j$ 相连当且仅当 $|i-j|=1$ 。

1. $\alpha(v_0)>\alpha(v_i)(i\in[1,k])$ 。

1.存在 $i\in[1,k-1]$ ，满足 $\alpha(v_i)<\alpha(v_{i+1})<...<\alpha(v_k)$ 且 $\alpha(v_i)<\alpha(v_{i-1})<...<\alpha(v_1)<\alpha(v_k)<\alpha(v_0)$ 。

证明：

设 $B(z) = \sum\limits_{i\ge 0}\dfrac{B_i}{i!}z^i$，注意到左边为卷积形式，故：

$$

B(z)e^z &= z+B(z)\\B(z) &= \\dfrac{z}{e^z - 1}

\\end{aligned}$$

B(z)e^z &= z+B(z)\\B(z) &=\\dfrac{z}{e^z - 1}\\end{aligned}$$

设 $F_n(z) = \sum_{m\ge 0}\dfrac{S_m(n)}{m!}z^m$ ，则：

调换求和顺序：

$$

F*n(z) &= \\sum*{i=0}^{n-1}\\sum*{m\\ge 0}\\dfrac{i^mz^m}{m!}\\&= \\sum*{i=0}^{n-1}e^{iz}\\&= \\dfrac{e^{nz} - 1}{e^z - 1}\\&= \\dfrac{z}{e^z - 1}\\cdot\\dfrac{e^{nz} - 1}{z}

\\end{aligned}$$

F*n(z) &=\\sum*{i=0}^{n-1}\\sum*{m\\ge 0}\\dfrac{i^mz^m}{m!}\\&=\\sum*{i=0}^{n-1}e^{iz}\\&=\\dfrac{e^{nz} - 1}{e^z - 1}\\&=\\dfrac{z}{e^z - 1}\\cdot\\dfrac{e^{nz} - 1}{z}\\end{aligned}$$

代入 $B(z)=\dfrac{z}{e^z - 1}$ ：

由于 $F_n(z) = \sum_{m\ge 0}\dfrac{S_m(n)}{m!}z^m$，即 $S_m(n)=m![z^m]F_n(z)$：

$$

S*m(n)&=m![z^m]F_n(z)\\&= m!\\sum*{i=0}^{m}\\dfrac{B*i}{i!}\\cdot\\dfrac{n^{m-i+1}}{(m-i+1)!}\\&= \\dfrac{1}{m+1}\\sum*{i=0}^{m}\\binom{m+1}{i}B_in^{m-i+1}

\\end{aligned}$$

S*m(n)&=m![z^m]F_n(z)\\&= m!\\sum*{i=0}^{m}\\dfrac{B*i}{i!}\\cdot\\dfrac{n^{m-i+1}}{(m-i+1)!}\\&=\\dfrac{1}{m+1}\\sum*{i=0}^{m}\\binom{m+1}{i}B_in^{m-i+1}\\end{aligned}$$

故得证。